【題目】是否存在常數
，使等式
對于一切
都成立？若不存在，說明理由；若存在，請用數學歸納法證明？
【答案】
，證明詳見解析.
【解析】
試題分析：先從特殊情形
，等式必須成立，求出
值，然后用數學歸納法加以證明，在這里必須指出的是：若題目沒有講要用數學歸納法證明，我們也應從數學歸納法考慮，因為等式的左邊我們無法通過數列求和的知識解決，其次本題是與自然數有關的命題證明，我們應優先考慮數學歸納法，證明時必須嚴格遵循數學歸納法的證題步驟，做到規范化.
試題解析：若存在常數使等式成立，則將代入上式，有
得，即有 
對于一切
成立. 5分
數學歸納法證明如下：
證明如下：（1）當
時，左邊=
，右邊=
，所以等式成立，
（2）假設
（
且）時等式成立，即
，
當
時，
也就是說，當時，等式成立，
綜上所述，可知等式對任何span>都成立. 12分
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了傳承經典，促進學生課外閱讀，某校從高中年級和初中年級各隨機抽取100名學生進行有關對中國四大名著常識了解的競賽.圖1和圖2分別是高中年級和初中年級參加競賽的學生成績按照
分組，得到的頻率分布直方圖.
（1）分別計算參加這次知識競賽的兩個學段的學生的平均成績；
（2）規定競賽成績達到
為優秀，經統計初中年級有3名男同學，2名女同學達到優秀，現從上述5人中任選兩人參加復試，求選中的2人恰好都為女生的概率；
（3）完成下列
的列聯表，并回答是否有99%的把握認為“兩個學段的學生對四大名著的了解有差異”？
附： 
臨界值表：
| 0.10 | 0.05 | 0.01 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種產品的年銷售量
與該年廣告費用支出
有關，現收集了4組觀測數據列于下表：
| 1 | 4 | 5 | 6 |
| 30 | 40 | 60 | 50 |
現確定以廣告費用支出
為解釋變量，銷售量
為預報變量對這兩個變量進行統計分析.
（1）已知這兩個變量滿足線性相關關系，試建立
與
之間的回歸方程；
（2）假如2017年廣告費用支出為10萬元，請根據你得到的模型，預測該年的銷售量
.
（線性回歸方程系數公式
）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,設P是圓
上的動點,點D是P在x軸上的投影，M為線段PD上一點,且
，
(1)當P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方程；
(2)求過點(3,0)且斜率為
的直線被軌跡C所截線段的長度.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學一位高三班主任對本班50名學生學習積極性和對待班級工作的態度進行調查，得到的統計數據如下表所示：
積極參加班級工作 | 不積極參加班級工作 | 合計 | |
學習積極性高 | 18 | 7 | 25 |
學習積極性不高 | 6 | 19 | 25 |
合計 | 24 | 26 | 50 |
（1）如果隨機調查這個班的一名學生，那么抽到不積極參加班級工作且學習積極性不高的學生的概率是多少？
（2）若不積極參加班級工作且學習積極性高的7名學生中有兩名男生，現從中抽取兩名學生參加某項活動，問兩名學生中有1名男生的概率是多少？
（3）學生的學習積極性與對待班極工作的態度是否有關系？請說明理由.
附：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
滿足：①圓心在第一象限，截
軸所得弦長為2；②被
軸分成兩段圓弧，其弧長的比為
；③圓心到直線
的距離為
.
（Ⅰ）求圓
的方程；
（Ⅱ）若點
是直線
上的動點，過點
分別做圓
的兩條切線，切點分別為
， 
，求證：直線
過定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高校大一新生中的6名同學打算參加學校組織的“雅荷文學社”、“青春風街舞社”、“羽乒協會”、“演講團”、“吉他協會”五個社團，若每名同學必須參加且只能參加1個社團且每個社團至多兩人參加，則這6個人中至多有1人參加“演講團”的不同參加方法數為（ ）
A. 4680 B. 4770 C. 5040 D. 5200
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