Question

【題目】有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現正反面為等可能性事件，棋盤上標有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋向前跳一站（從k到），若擲出反面，棋向前跳兩站（從k到），直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或跳到第100站（失敗集中營）時，該游戲結束.設棋子跳到第n站概率為.

（1）求，，的值；

（2）求證：，其中，；

（3）求及的值.

Answer 1

【答案】（1）...（2）見解析；（3），.

【解析】

(1)分析投擲硬幣的情況，再分別計算即可.

(2)根據棋子跳到第站情況有且僅有①棋子先到第站，又擲出反面，②棋子先到第站，又擲出正面，兩種情況，再求出遞推公式再化簡證明即可.

(3)根據(2)可知數列是首項為，公比為的等比數列得到，再累加求和求出即可求解及.

（1）棋子開始在第0站為必然事件，∴.

第一次擲硬幣出現正面，棋子跳到第1站，其概率為，∴.

棋子跳到第2站應從如下兩方面考慮：

①前兩次擲硬幣都出現正面，其概率為；

②第一次擲硬幣出現反面，其概率為.

∴.

（2）證明：棋子跳到第n（）站的情況是下列兩種，而且也只有兩種：

①棋子先到第站，又擲出反面，其概率為；

②棋子先到第站，又擲出正面，其概率為.

∴.

∴.

（3）由（2）知，當時，數列是首項為，公比為的等比數列.

∴，，

，…，.

以上各式相加，得，

∴.

∴，

.