Question

（2011•順義區二模）設函數f(x)=

ax

x2+b

(a＞0)．
（1）若函數f（x）在x=-1處取得極值-2，求a，b的值；
（2）若函數f（x）在區間（-1，1）內單調遞增，求b的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，若P（x₀，y₀）為函數f(x)=

ax

x2+b

圖象上任意一點，直線l與f（x）的圖象切于點P，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，根據f'（-1）=0，f（-1）=-2，求出a，b的值．
（2）對函數f（x）進行求導，轉化成f′（x）在（-1，1）上恒有f′（x）≥0，求出參數b的取值范圍．
（3）利用導數的幾何意義得直線l在點P處的切線斜率的表達式，再結合換元法，令t=

1

x02+1

，轉化為二次函數的最值問題，從而求出直線l的斜率的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

a(b-x2)

(x2+b)2

由題意得

f′(-1)=0 f(-1)=-2

，即

a(b-1) (1+b)2 =0 -a 1+b =-2

，所以

a=4 b=1

（2）f′(x)=-

a(x2-b)

(x2+b)2

(a＞0)
當b≤0時，f′（x）≤0，函數f（x）在區間（-1，1）內不可能單調遞增 （4分）
當b＞0時，f′(x)=-

a(x+ b )(x- b )

(x2+b)2

則當x∈(-

b

，

b

)時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，故當且僅當

- b ≤1 b ≥1

時，
函數f（x）在區間（-1，1）內單調遞增，即b≥1時，函數f（x）在（-1，1）內單調遞增．
故所求b的取值范圍是[1，+∞）
（3）直線l在點P處的切線斜率k=f′(x0)=

4-4x02

(x02+1)2

=

-4

x02+1

+

8

(x02+1)2

令t=

1

x02+1

，則0＜t≤1所以k=8t2-4t=8(t-

1

4

)2-

1

2

故當t=

1

4

時，kmin=-

1

2

；t=1時，k_max=4
所以直線l的斜率的取值范圍是[-

1

2

，4]．

點評：本小題主要考查函數在某點取得極值的條件、利用導數研究函數的單調性、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．