Question

給出以下判斷：
（1）b=0是函數f（x）=ax²+bx+c為偶函數的充要條件；
（2）橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，以點（1，1）為中點的弦所在直線方程為x+2y-3=0；
（3）回歸直線

y

=

b

x+

a

必過點(

.

x

，

.

y

)；
（4）如圖，在四面體ABCD中，設E為△BCD的重心，則

AE

=

AB

+

1

2

AC

+

2

3

AD

；
（5）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1( a＞0 ， b＞0 )的兩焦點為F₁，F₂，P為右支是異于右頂點的任一點，△PF₁F₂的內切圓圓心為T，則點T的橫坐標為a．其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：（1）利用充要條件的判斷方法判斷；
（2）利用點差法，求出以點（1，1）為中點的弦所在直線方程；
（3）回歸直線

y

=

b

x+

a

必過點(

.

x

，

.

y

)，故正確；
（4）利用向量的線性運算可得結論；
（5）設△PF₁F₂的內切圓分別與PF₁、PF₂切于點A、B，與F₁F₂切于點M，則|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，又點P在雙曲線右支上⇒|PF₁|-|PF₂|=2a⇒|F₁M|-|F₂M|=2a．而|F₁M|+|F₂M|=2c，設M點坐標為（x，0），則由|F₁M|-|F₂M|=2a，⇒（x+c）-（c-x）=2a，可解得x=a，顯然內切圓的圓心與點M的連線垂直于x軸，于是問題解決．

解答：解：（1）函數f（x）=ax²+bx+c是偶函數，可得f（-x）=f（x），得a（-x）²-bx+c=ax²+bx+c，∴-bx=bx，∴b=0；當b=0時，f（x）=ax²+c，滿足f（-x）=f（x），是偶函數，所以b=0是函數f（x）=ax²+bx+c為偶函數的充要條件，故（1）正確；
（2）設以A（1，1）為中點橢圓的弦與橢圓交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），∵A（1，1）為EF中點，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，把E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）分別代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，得

x12 4 + y12 3 =1 x22 4 + y22 3 =1

，∴3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，∴6（x₁-x₂）+8（y₁-y₂）=0，∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

，∴以A（1，1）為中點橢圓的弦所在的直線方程為3x+4y-7=0，故（2）錯誤；
（3）回歸直線

y

=

b

x+

a

必過點(

.

x

，

.

y

)，故正確；
（4）在四面體ABCD中，設E為△BCD的重心，則

AE

=

AB

+

BE

=

AB

+

2

3

•

1

2

(

BC

+

BD

)=

1

3

(

AB

+

AC

+

AD

)，故（4）不正確；
（5）設△PF₁F₂的內切圓分別與PF₁、PF₂切于點A、B，與F₁F₂切于點M，則|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|．又點P在雙曲線右支上，∴|PF₁|-|PF₂|=2a，即（|PA|+|F₁A|）-（|PB|+|F₂B|）=2a，∴|F₁M|-|F₂M|=2a，而|F₁M|+|F₂M|=2c，設M點坐標為（x，0），∵|F₁M|-|F₂M|=2a，∴（x+c）-（c-x）=2a，解得x=a，故（5）正確．
故答案為：（1）（3）（5）．

點評：本題考查命題真假的判斷，涉及的知識點多，需要逐個判斷，有難度．