Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，曲線C1的參數方程為 （θ為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，與直角坐標系xoy取相同的單位長度建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=2cosθ﹣4sinθ．
（1）化曲線C1 ， C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）設曲線C2與x軸的一個交點的坐標為P（m，0）（m＞0），經過點P作斜率為1的直線，l交曲線C2于A，B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C1的參數方程為 ，消去參數可得： ，表示焦點在y軸上的橢圓方程．

曲線C2的極坐標方程為ρ=2cosθ﹣4sinθ，可得ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ，

∴x2+y2=2x﹣4y，整理得（x﹣1）2+（y+2）2=5，表示以（1，﹣2）為圓心，半徑r=5的圓．

（2）解：曲線C2與x軸的一個交點的坐標為P（m，0）（m＞0），令y=0，解得x=2，

∴P（2，0），可得直線l：y=x﹣2．

將曲線C1的參數方程帶入直線l可得： sinθ=2cosθ﹣2．

整理可得：cos（ ）= ，即θ=2kπ或 ，（k∈Z）．

那么：A（2，0），B（﹣1，﹣3），

∴|AB|=

【解析】（1）根據sin2θ+cos2θ=1消去曲線C1的參數θ可得普通方程；根據ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2 ， 進行代換即得曲線C2的普通方程；（2）令曲線C2的y=0，求解P的坐標，可得過P的直線方程，參數方程的幾何意義求解即可．