Question

（2013•普陀區一模）設函數f（x）和x都是定義在集合

2

上的函數，對于任意的

2

x，都有x成立，稱函數x與y在l上互為“l函數”．
（1）函數f（x）=2x與g（x）=sinx在M上互為“H函數”，求集合M；
（2）若函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）與g（x）=x+1在集合M上互為“x函數”，求證：a＞1；
（3）函數m與m在集合M={x|x＞-1且x≠2k-3，k∈N^*}上互為“m函數”，當m時，m，且m在m上是偶函數，求函數m在集合M上的解析式．

Answer 1

分析：（1）由f（g（x）=g（f（x）），得2sinx=sin2x，由此能求出集合M．
（2）由題意得，a^x+1=a^x+1（a＞0且a≠1），變形得a^x（a-1）=1，由于a＞0且a≠1，ax=

1

a-1

，由此能證明a＞1．
（3）當-1＜x＜0，則0＜-x＜1，由于函數g（x）在（-1，1）上是偶函數，知g（x）=g（-x）=log₂（1-x），由此能求出函數m在集合M上的解析式．

解答：（1）解：由f（g（x）=g（f（x）），得2sinx=sin2x，
化簡得，2sinx（1-cosx）=0，sinx=0或cosx=1，…（2分）
解得x=kπ或x=2kπ，k∈Z，
即集合M={x|x=kπ}k∈Z．…（2分）
（若學生寫出的答案是集合M={x|x=kπ，k∈Z}的非空子集，扣（1分），以示區別．）
（2）證明：由題意得，a^x+1=a^x+1（a＞0且a≠1）…（2分）
變形得，a^x（a-1）=1，由于a＞0且a≠1，ax=

1

a-1

，…（2分）
因為a^x＞0，所以

1

a-1

＞0，即a＞1．…（2分）
（3）解：當-1＜x＜0，則0＜-x＜1，由于函數g（x）在（-1，1）上是偶函數
則g（x）=g（-x）=log₂（1-x）
所以當-1＜x＜1時，g（x）=log₂（1+|x|）…（2分）
由于f（x）=x+2與函數g（x）在集合M上“互為H函數”
所以當x∈M，f（g（x）=g（f（x））恒成立，
g（x）+2=g（x+2）對于任意的x∈（2n-1，2n+1）（n∈N）恒成立，
即g（x+2）-g（x）=2…（2分）
所以g[x+2（n-1）+2]-g[x+2（n-1）]=2，
即g（x+2n）-g[x+2（n-1）]=2
所以g（x+2n）=g（x）+2n，
當x∈（2n-1，2n+1）（n∈N）時，x-2n∈（-1，1）g（x-2n）=log₂（1+|x-2n|）…（2分）
所以當x∈M時，g（x）=g[（x-2n）+2n]=g（x-2n）+2n=log₂（1+|x-2n|）+2n．…（2分）

點評：本題考查集合的求法，考查不等式的證明，考查函數的解析式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．