Question

【題目】設k＞0，函數f（x）=+x+kln|x﹣1|．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）當函數f（x）有兩個極值點，且0＜θ＜π時，證明：（2k﹣1）sinθ+（1﹣k）sin[（1﹣k）θ]＞0．

Answer 1

【答案】解：（1）f（x）的定義域為（﹣∞，1）∪（1，+∞），
①當x＞1時，f（x）=+x+kln（x﹣1），
由于k＞0，則f′（x）=x+1+=＞0恒成立，、
故f（x）在（1，+∞）上單調遞增．
②當x＜1時，f（x）=+x+kln（1﹣x），
由于k＞0，則f′（x）=x+1+═，
若k≥1，f′（x）≤0恒成立，f（x）在（﹣∞，1）上單調遞減，
若0＜k＜1，令f′（x）＞0，即﹣＜x＜，
令f′（x）＜0，即＜x＜1，或x＜﹣，
綜上所述：當0＜k＜1，f（x）在（﹣，）上單調遞增，在（，1），（﹣∞，﹣）上單調遞減，
當k≥1時f（x）在（﹣∞，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
（2），由（1）知，當0＜k＜1，f（x）有一個極大值點和一個極小值點﹣，
當k≥1時，f（x）沒有極值點，
∴函數f（x）有兩個極值點時，0＜k＜1，
原不等式等價于（1﹣k）sin[（1﹣k）θ]＞（1﹣2k）sinθ，
∵0＜θ＜π，
∴sinθ＞0，
∴（1﹣k）2sinθ=（1﹣2k+k2）sinθ＞（1﹣2k）sinθ，
∴只要證（1﹣k）sin[（1﹣k）θ]＞（1﹣k）2sinθ，
只要證＞，
∵（1﹣k）θ，θ∈（0，π），
構造函數g（x）=（0＜x＜π），
則只要證g[（1﹣k）θ]＞g（θ），
而g′（x）=，
設h（x）=xcosx﹣sinx，（0＜x＜π），
則h′（x）=﹣xsinx＜0，
∴h（x）在（0，π）上是減函數，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴g′（x）=＜0，
∴g（x）在在（0，π）上是減函數，
∵（1﹣k）θ＜θ，
∴g[（1﹣k）θ]＞g（θ），
故原不等式成立．
【解析】（1），先求導，通過分類討，根據導數與函數單調性的關系即可得出單調區間；
（2）原不等式等價于＞ ， 分別構造函數，利用函數導數和函數的單調性以及最值得關系，即可證明．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)的相關知識才是答題的關鍵．