Question

【題目】已知橢圓，如圖所示點為橢圓上任意三點．

（Ⅰ）若，是否存在實數，使得代數式為定值．若存在，求出實數和的值；若不存在，說明理由．

（Ⅱ）若，求三角形面積的最大值；

（Ⅲ）滿足（Ⅱ），且在三角形面積取得最大值的前提下，若線段與橢圓長軸和短軸交于點（不是橢圓的頂點）．判斷四邊形的面積是否為定值．若是，求出定值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）,（2）1（3）2

【解析】試題分析：（1）將坐標代入橢圓方程，根據，消去得（2）由，得聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理以及弦長公式求AB，根據點到直線距離公式求三角形高，再代入三角形面積公式，最后根據基本不等式求最值，（3）先求E,F坐標，再根據四邊形面積公式求面積，計算結果為定值即可.

試題解析：（Ⅰ）由于，且；

得：

所以，即

故，存在實數使得．

（Ⅱ）當直線斜率不存在時，可設為；

聯立方程組，得；

由，得，即， ；

當直線斜率存在時，可設為；

聯立方程組，得；

由，得，

即，

， ；

等號成立時， ，即．

所以的最大值為1．

（Ⅲ）取得最大值時， ，此時直線與坐標軸的交點恰好分別是橢圓長軸和短軸各一個端點；

不妨取， ，若線段與橢圓長軸和短軸交于點（不是橢圓與坐標軸的交點）．

此時點定在第三象限，即；

直線的方程為，令，得

同理，得

四邊形的面積為：