Question

（本小題滿分12分）一束光線從點出發，經直線l:上一點反射后，恰好穿過點．（1）求點的坐標；（2）求以、為焦點且過點的橢圓的方程；  （3）設點是橢圓上除長軸兩端點外的任意一點，試問在軸上是否存在兩定點、，使得直線、的斜率之積為定值？若存在，請求出定值，并求出所有滿足條件的定點、的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（1）設關于l的對稱點為，則且，

解得，，即，故直線的方程為．

由，解得．                ------------------------3分

   （2）因為，根據橢圓定義，得

，所以．又，所以．

所以橢圓的方程為．        --------------------7分

   （3）假設存在兩定點為，使得對于橢圓上任意一點（除長軸兩端點）都有（為定值），即·，將代入并整理得…（＊）．由題意，（＊）式對任意恒成立，所以，解之得 或．

所以有且只有兩定點，使得為定值．   ----------12分