在平面直角坐標系
中，已知圓
和圓
.
（1）若直線
過點
，且被圓
截得的弦長為
，求直線的方程；
（2）設
為平面上的點，滿足：存在過點的無窮多對互相垂直的直線
和
，它們分別與圓和圓
相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點的坐標.
(1)
或
；(2) 
.
解析試題分析：（1）涉及到圓的弦長問題，我們一般利用弦心距，弦的一半，相應半徑所構成的直角三角形，本題中由弦長為，半徑為2，可求得弦心距為1，此即為圓心到直線的距離，利用點到直線的距離公式，可求得斜率
．利用方程思想求時要注意直線斜率不存在即直線與
軸垂直的情形．否則可能漏．（2）由（1）的分析可知直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等可得圓心到直線的距離與圓心到直線距離相等，所以我們可設點坐標為
，直線
的方程分別為
，
，利用圓心到直線的距離與圓心到直線距離相等列出關于的方程，再轉化為關于的方程有無窮解問題，從而得解．
試題解析：（1）設直線的方程為
，即
由垂徑定理得圓心到直線的距離
結合點到直線的距離公式得
所求直線的方程為或
，即或
（2）設點
，直線的方程分別為
即
由題意可知圓心到直線的距離等于
到直線的距離
即
，化簡得
，關于的方程由無窮多解，則有
，故.
考點：(1)點到直線距離公式；（2）方程解的個數問題．
暑假銜接培優教材浙江工商大學出版社系列答案
欣語文化快樂暑假沈陽出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的中心為直角坐標系
的原點，焦點在
軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1．
（1）求橢圓的方程；
（2）若
為橢圓的動點，
為過且垂直于軸的直線上的點，
（
為橢圓的離心率），求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知A（－5，0），B（5，0），動點P滿足｜
｜，
｜
｜，8成等差數列．
（1）求P點的軌跡方程；
（2）對于x軸上的點M，若滿足｜｜·｜｜＝
，則稱點M為點P對應的“比例點”.問：對任意一個確定的點P，它總能對應幾個“比例點”?
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知中心在原點的雙曲線
的一個焦點是
，一條漸近線的方程是
。
（1）求雙曲線的方程；
（2）若以
為斜率的直線
與雙曲線相交于兩個不同的點
，且線段
的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為
，求
的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在
軸上方有一段曲線弧
，其端點
、
在軸上（但不屬于），對上任一點
及點
，
，滿足：
．直線
，
分別交直線
于
，
兩點．
（Ⅰ）求曲線弧的方程；
（Ⅱ）求
的最小值（用
表示）；
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的左右焦點分別是
，離心率
，
為橢圓上任一點，且
的最大面積為
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設斜率為
的直線
交橢圓于
兩點，且以
為直徑的圓恒過原點
，若實數
滿足條件
，求的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
過點
,離心率為
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）過點
且斜率為
（
）的直線
與橢圓相交于
兩點，直線
、
分別交直線
于
、
兩點,線段
的中點為
.記直線
的斜率為
，求證: 
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓的中心在原點，焦點在
軸上，焦距為
，且經過點
，直線
交橢圓于不同的兩點A，B.
(1)求
的取值范圍；，
(2)若直線
不經過點
，求證：直線
的斜率互為相反數.
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，且和直線
相切，
5，求M點的坐標．