Question

已知橢圓的焦點F₁（-3，0）、F₂（3，0），且與直線x-y+9=0有公共點，求其中長軸最短的橢圓方程．

Answer 1

分析：先設橢圓方程，然后與直線方程聯立方程組，再根據該方程組有解即可求出a的最小值，則問題解決．

解答：解：設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-9

=1（a²＞9），
由

x2 a2 + y2 a2-9 =1 x-y+9=0

得（2a²-9）x²+18a²x+90a²-a⁴=0，
由題意，a有解，∴△=（18a²）²-4（2a²-9）（90a²-a⁴）≥0，
∴a⁴-54a²+405≥0，∴a²≥45或a²≤9（舍），
∴a²_min=45，此時橢圓方程是

x2

45

+

y2

36

=1．

點評：本題主要考查由代數方法解決直線與橢圓交點問題．