Question

函數①f（x）=2x-1，②f（x）=

x

，③f（x）=x²+x-1，④f（x）=e^x，⑤f（x）=x³中，滿足條件“?x₀∈R，f′（x₀）=

f(x0+1)-f(x0-1)

2

”的有

①③

．（寫出所有正確的序號）

Answer 1

分析：由已知，只需方程f′（x₀）=

f(x0+1)-f(x0-1)

2

有解即可，分別求出函數的導數，再考察方程解得情況，做出解答．

解答：解：對于①f（x）=2x-1，f′（x）=2，f′（x₀）=

f(x0+1)-f(x0-1)

2

=

2x0+1-(2x0-3)

2

=2，對于任意實數x均滿足要求，①正確．
②f（x）=

x

，f′（x）=

1

2 x

，f′（x₀）=

x0+1 - x0-1

2

=

1

2 x0

，無解，故錯誤．
③f（x）=x²+x-1，f′（x）=2x+1，

f(x0+1)-f(x0-1)

2

=2x₀+1，對于任意實數x均滿足條件要求，③正確．
④f（x）=e^x，f′（x）=e^x，由

f(x0+1)-f(x0-1)

2

=

ex0+1-ex0-1

2

=ex0，無解，故錯誤．
⑤f（x）=x³，f′（x）=3x²，由

f(x0+1)-f(x0-1)

2

=

ex0+1-ex0-1

2

=ex0，無解，故錯誤
綜上所述，滿足條件的有①③
故答案為：①③

點評：本題考查函數求導運算，方程思想，考查轉化、計算能力．