Question

【題目】已知函數，.

(1)a≥－2時,求F(x)=f(x)-g(x)的單調區間;

(2)設h(x)=f(x)+g(x),且h(x)有兩個極值點為,其中,求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題本題主要考查函數的單調性、函數的最值、導數等基礎知識，意在考查考生的運算求解能力、推理論證能能力以及分類討論思想和等價轉化思想的應用．第一問，先確定的解析式，求出函數的定義域，對求導，此題需討論的判別式，來決定是否有根，利用求函數的增區間，求函數的減區間；第二問，先確定解析式，確定函數的定義域，先對函數求導，求出的兩根，即，而利用韋達定理，得到，，即得到，代入到中，要求，則構造函數，求出的最小值即可，對求導，判斷函數的單調性，求出函數的最小值即為所求.

試題解析：（1）由題意，其定義域為，則，2分

對于，有.

①當時，，∴的單調增區間為；

②當時，的兩根為，

∴的單調增區間為和，

的單調減區間為.

綜上：當時，的單調增區間為；

當時，的單調增區間為和，

的單調減區間為. 6分

（2）對，其定義域為.

求導得，，

由題兩根分別為，，則有，， 8分

∴，從而有

， 10分

.

當時，，∴在上單調遞減，

又，

∴. 12分