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在△ABC（如圖1），若CE是∠ACB的平分線，則

．其證明過程如下：
作EG⊥AC于點G，EH⊥BC于點H，CF⊥AB于點F，
∵CE是∠ACB的平分線，
∴EG=EH．
又∵

AC•EG

BC•EH

S△AEC

S△BEC

，

AE•CF

BE•CF

S△AEC

S△BEC

，
∴

（1）把上面結論推廣到空間中：在四面體A-BCD中（如圖2），平面CDE是二面角A-CD-B的角平分面，類比三角形中的結論，你得到的相應空間的結論是

S△ACD

S△BCD

S△ACD

S△BCD

（2）證明你所得到的結論．

分析：三角形的內角平分線定理類比到空間三棱錐，根據長度類比面積，從而得到

S△ACD

S△BCD

．

解答：解：在平面中在△ABC（如圖1），若CE是∠ACB的平分線，則

．
將這個結論類比到空間：在四面體A-BCD中（如圖2），平面CDE是二面角A-CD-B的角平分面，
則類比的結論為根據面積類比體積，長度類比面積可得：

S△ACD

S△BCD

，
證明：設點E到平面ACD、平面BCD的距離分別為h₁、h₂，則由平面CDE是二面角A-CD-B的角平分面，知h₁=h₂，
又

S△ACD

S△BCD

h1S△ACD

h2S△BCD

VA-CDE

VB-CDE

，
∴

S△ACD

S△BCD

．
故答案為：

S△ACD

S△BCD

．

點評：本題考查了類比推理，將平面中的性質類比到空間．屬于基礎題．

練習冊系列答案

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如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分別是AC、AB上的點，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如圖2．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BE與平面A₁BC所成角的正弦值；
（Ⅲ）當D點在何處時，A₁B的長度最小，并求出最小值．

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