Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分別是AC、AB上的點，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如圖2．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BE與平面A₁BC所成角的正弦值；
（Ⅲ）當D點在何處時，A₁B的長度最小，并求出最小值．

Answer 1

分析：（I）由Rt△ABC中，∠C=90°且DE∥BC，證出A₁D⊥DE．結合A₁D⊥CD，可得A₁D⊥面BCDE，從而得到A₁D⊥BC．最后根據線面垂直判定定理，結合BC⊥CD可證出BC⊥面A₁DC；
（II）以C為原點，CD、CB所在直線分別為x、y軸，建立空間直角坐標系如圖所示．可得D、E、B、A₁各點的坐標，從而算出

CB

、

CA1

的坐標，利用垂直向量數量積為零的方法建立方程組，解出

n

=（2，0，-1）為平面A₁BC的一個法向量．根據空間向量的夾角公式和直線與平面所成角的性質，即可算出BE與平面A₁BC所成角的正弦值；
（III）設D（x，0，0），可得A₁（x，0，6-x），由此得到A1B=

2x2-12x+45

，結合二次函數的圖象與性質可得當D為AC中點時A₁B的長度最小，并且這個最小值為3

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，
∴AD⊥DE，可得A₁D⊥DE．
又∵A₁D⊥CD，CD∩DE=D，∴A₁D⊥面BCDE．
∵BC?面BCDE，∴A₁D⊥BC．
∵BC⊥CD，CD∩BC=C，∴BC⊥面A₁DC．…（4分）
（Ⅱ）以C為原點，CD、CB所在直線分別為x、y軸，建立空間直角坐標系，如圖所示． …（5分）
可得D（2，0，0），E（2，2，0），B（0，3，0），A₁（2，0，4）．
設

n

=（x，y，z）為平面A₁BC的一個法向量，
∵

CB

=(0，3，0)，

CA1

=(2，0，4)，∴

3y=0 2x+4z=0

，
令x=2，得y=0，z=-1．
所以

n

=（2，0，-1）為平面A₁BC的一個法向量．      …（7分）
設BE與平面A₁BC所成角為θ，則sinθ=|cos＜

BE

•n＞|=

4

5 • 5

=

4

5

．
所以BE與平面A₁BC所成角的正弦值為

4

5

．          …（9分）
（Ⅲ）設D（x，0，0），則A₁（x，0，6-x），
∴A1B=

(x-0)2+(0-3)2+(6-x-0)2

=

2x2-12x+45

…（12分）
根據二次函數的圖象與性質，可得當x=3時，
A₁B的最小值是3

3

，由此點D為AC的中點
即D為AC中點時，A₁B的長度最小，最小值為3

3

．  …（14分）

點評：本題在四棱錐中求證線面垂直，求直線與平面所成角的正弦值并探索線段長度的最小值．著重考查了線面垂直的判定與性質、利用空間向量研究直線與平面所成角和二次函數的性質等知識，屬于中檔題．