Question

已知某山區小學有100名四年級學生，將全體四年級學生隨機按00～99編號，并且按編號順序平均分成10組．現要從中抽取10名學生，各組內抽取的編號按依次增加10進行系統抽樣.

（1）若抽出的一個號碼為22，則此號碼所在的組數是多少？據此寫出所有被抽出學生的號碼；
（2）分別統計這10名學生的數學成績，獲得成績數據的莖葉圖如圖4所示，求該樣本的方差；
（3）在（2）的條件下，從這10名學生中隨機抽取兩名成績不低于73分的學生，求被抽取到的兩名學生的成績之和不小于154分的概率．

Answer 1

(1)第3組02，12，22，32，42，52，62，72，82，92. (2)  (3)

解析試題分析：
(1)根據系統抽樣的方式,可以得到100名學生要分10組,每組10人,每組抽取一人,第三組編號為20-29,故22號為第三組學生,因為間隔為10,所以22依次加或者減10即可得到各組被抽到學生的編號.
(2)首先根據莖葉圖可得還原這10名學生的成績,然后求的平均數,10名學生的成績分別減去平均數的平方和再除以10即為方差.
(3)根據莖葉圖可得成績不低于73分的學生有5名,首先列出五選二的所有的基本事件共有10種,即為（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）,而成績之差不小于154分的有7種,再根據古典概型的概率計算公式即可求的相應的概率.
試題解析：
（1）由題意，得抽出號碼為22的組數為3.                        （2分）
因為2＋10×(3－1)＝22，所以第1組抽出的號碼應該為02，抽出的10名學生的號碼依次分別為：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.                  （4分）
（2）這10名學生的平均成績為：
×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，            （6分）
故樣本方差為：（10²＋1²＋2²＋5²＋7²＋8²＋9²＋6²＋4²＋12²）＝52. （8分）
（3）從這10名學生中隨機抽取兩名成績不低于73分的學生，共有如下10種不同的取法：
（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）.               （10分）
其中成績之和不小于154分的有如下7種：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）.                      （12分）
故被抽取到的兩名學生的成績之和不小于154分的概率為：      （13分）
考點：古典概型 莖葉圖 方差 系統抽樣