Question

雙曲線x²-

y2

b2

=1的兩焦點分別為F₁、F₂，以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線的一個交點為P，若△PF₁F₂的面積為3，則點P到x軸的距離為（　�。�

• A、3
• B、2
• C、

  3

  2

• D、

  3

  4

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先設F₁F₂=2c，由題意知△F₁F₂P是直角三角形，進而在RT△PF₁F₂中結合雙曲線的定義和△PF₁F₂的面積，進而根據雙曲線的簡單性質求得a，c，利用三角形的△PF₁F₂的面積為3，求出點P到x軸的距離．

解答： 解：設以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為P，F₁F₂=2c，由題意知△F₁F₂P是直角三角形，
∴F₁P²+F₂P²=F₁F₂²，
又根據曲線的定義得：F₁P-F₂P=2，
平方得：F₁P²+F₂P²-2F₁P×F₂P=4，
 從而得出F₁F₂²-2F₁P×F₂P=4，
∴F₁P×F₂P=2b²，
又△PF₁F₂的面積等于3，
即

1

2

F₁P×F₂P=3，
∴b²=3，
∴b=

3

，
∴c=2，
設點P到x軸的距離為d，則

1

2

×4d=3
∴d=

3

2

．
故選：C．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了學生綜合分析問題和數形結合的思想的運用．屬基礎題．