Question

（本題滿分12分）如圖，在多面體ABCDE中，,,是邊長為2的等邊三角形，，CD與平面ABDE所成角的正弦值為.

（1）在線段DC上是否存在一點F，使得，若存在，求線段DF的長度，若不存在，說明理由；
（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）存在F為CD中點，DF=時，使得（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）取AB的中點G，連結CG，則，
又，可得,所以，
所以，CG=,故CD=  ……2分
取CD的中點為F，BC的中點為H,因為，，所以為平行四邊形，得，………………………………4分

平面  ∴
存在F為CD中點，DF=時，使得……6分
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，則、、        
、，從而， 
，。
設為平面的法向量，

則可以取 ……………………8分
設為平面的法向量，
則取  ……10分
因此，，…………11分
故二面角的余弦值為……………12分
點評：求解和證明立體幾何問題一方面可以直接利用幾何方法，通過證明或找到線面之間的關系，依據判定定理或性質進行證明求解.但是本法的難在證明線面關系，難在作角、找角.空間向量方法是證明垂直、平行、求角的好方法，因其避開了“做，找”，所以其應用的難度大大的降低了.利用空間向量法證明垂直，即證明向量的數量積等于0；若求二面角則通過兩個半平面的法向量的夾角進行求解判斷。