Question

（2013•松江區一模）設f（x）是定義在R上的函數，對x∈R都有f（-x）=f（x），f（x）•f（x+2）=10，且當x∈[-2，0]時，f(x)=(

1

2

)x-1，若在區間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3個不同的實數根，則a的取值范圍是（　　）

• A．（1，2）
• B．（2，+∞）
• C．（1，

  3	4

  ）
• D．（

  3	4

  ，2）

Answer 1

分析：確定函數為周期函數，是定義在R上的偶函數，再將問題轉化為函數y=f（x）與y=log_a（x+2）在區間（-2，6]上有三個不同的交點，即可求得結論．

解答：解：∵對于任意的x∈R，都有f（x）•f（x+2）=10，∴f(x+4)=

10

f(x+2)

=f(x)
∴函數f（x）是一個周期函數，且T=4．
∵對x∈R都有f（-x）=f（x），
∴函數f（x）是定義在R上的偶函數，
∵當x∈[-2，0]時，f（x）=（

1

2

）^x-1，在區間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實數解，
∴函數y=f（x）與y=log_a（x+2）在區間（-2，6]上有三個不同的交點，如下圖所示：

又f（-2）=f（2）=3，則有 log_a4＜3，且log_a8＞3，解得：

3	4

＜a＜2，
故a的取值范圍是（

3	4

，2）．
故選D．

點評：本題考查根的存在性及根的個數判斷，指數函數與對數函數的圖象與性質，其中根據方程的解與函數的零點之間的關系，將方程根的問題轉化為函數零點問題，是解答本題的關鍵，屬于中檔題．