Question

【題目】如圖在四棱錐中，平面底面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，.

（1）證明：.

（2）求平面PCD與平面PAB夾角（銳角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）過P作PO⊥AB與O.連OC，OD，根據已知條件計算可得，根據平面與平面垂直的性質定理可得，再根據直線與平面垂直的判定和性質可證結論

（2）以O為坐標原點.OD，OB，OP為x，y，軸建立空間直角坐標洗，利用空間向量可求得平面PCD與平面PAB夾角（銳角）的余弦值.

（1）證明：過P作PO⊥AB與O.連OC，OD，如圖：

因為底面ABCD是等腰梯形，，

所以，因為，，

∴，所以，

所以，

∴，

所以，，

所以，，

所以，所以.

因為平面底面ABCD，交線為AB，

∴底面ABCD，所以.

又，平面POC，

故平面POC，所以；

（2）由（1）知，以O為坐標原點.OD，OB，OP為x，y，軸建立空間直角坐標系，如圖所示

則，，，

所以，，

設平面PCD的法向量,

故,即，

令，則，，所以，

平面PAB的法向量取），

所以

故平面PCD與PAB夾角的余弦值為.