Question

如圖，焦點在x軸上的橢圓的離心率為

3

2

，上頂點A（0，1），下頂點為B，已知定直線l：y=2，若點P是橢圓上異于點A、B的任意一點，連接AP并延長交直線l于點M，連接PB并延長交直線 l 于點M，
（1）求MN的最小值；
（2）證明以MN為直徑的圓恒過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓離心率的意義和a、b、c的關系即可求出橢圓的方程；先設出點M、N的坐標，可寫出直線MA、MB的方程，聯立即可得出點P的坐標，再代入橢圓方程即可得出m、n的關系，進而求出|MN|最小值；
（2）先寫出圓的方程，再利用（1）結論即可求出．

解答：解：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由題意可得

c a = 3 2 b=1 a2=b2+c2

，解得

a=2 b=1 c= 3

，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
設點M（m，2），N（n，2）不妨設m＞0，n＜0．
則直線MA的方程為：y=

1

m

x+1；直線NB的方程為y=

3

n

x-1．
聯立

y= 1 m x+1 y= 1 n x-1

解得

x= 2mn 3m-n y= 3m+n 3m-n

，即點P(

2mn

3m-n

，

3m+n

3m-n

)．
代入橢圓的方程得

m2n2

(3m-n)2

+

(3m+n)2

(3m-n)2

=1，化為mn=-12．
∴|MN|=m-n=m+

12

m

≥2

m× 12 m

=4

3

，當且僅當m=2

3

時取等號，即|MN|的最小值為4

3

．
（3）由（1）可知：設（M（m，2），N（n，2）），則mn=-12．
∴以MN為直徑的圓的方程為(x-

m+n

2

)2+(y-2)2=(

m-n

2

)2．
令x=0，則方程化為（y-2）²=12，解得y=2±2

3

．
∴以MN為直徑的圓恒過定點(0，2±2

3

)．

點評：熟練掌握橢圓的定義與性質、直線相交問題的解法、代點法、圓的方程及恒過定點問題的解法是解題的關鍵．