Question

如圖，已知中心在原點0、焦點在x軸上的橢圓T過點M（2，1），離心率為

3

2

；拋物線C頂點在原點，對稱軸為x軸且過點M．
（Ⅰ）當直線l₀經過橢圓T的左焦點且平行于OM時，求直線l₀的方程；（Ⅱ）若斜率為-

1

4

的直線l不過點M，與拋物線C交于A、B兩個不同的點，求證：直線MA，MB與X軸總圍成等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率得到長半軸和短半軸之間的關系，設出橢圓的方程，代入M點的坐標，求出橢圓方程后得到半焦距，求出OM的斜率，則直線l₀的方程可求；
（Ⅱ）由題意設出拋物線方程，代入點M的坐標求出拋物線方程，再設出A，B的坐標，由兩點式寫出AB的斜率，結合斜率為-

1

4

求出A，B的縱坐標的和，再由MA和MB的斜率和等于0證出直線MA，MB與X軸總圍成等腰三角形．

解答：（Ⅰ）解：由e=

c

a

=

3

2

，得

c2

a2

=

3

4

，

a2-b2

a2

=

3

4

，∴a²=4b²．
設橢圓T的方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1．
將點M（2，1）代入橢圓方程得：

4

4b2

+

1

b2

=1，解得b²=2．
∴a²=8．
∴橢圓T的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
則c=

a2-b2

=

8-2

=

6

．
因此左焦點為(-

6

，0)，kl0=kOM=

1

2

．
∴直線l₀的方程為y=

1

2

(x+

6

)，
即y=

1

2

x+

6

2

；
（Ⅱ）證明：如圖，

設拋物線方程為y²=2px（p＞0），
代入M的坐標得：1=4p，解得：p=

1

4

．
∴拋物線C的方程為：y2=

1

2

x．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，
則k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

．
kAB=

y2-y1

x2-x1

=

1

2(y1+y2)

=-

1

4

，∴y₁+y₂=-2．
k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

1

2(y1+1)

+

1

2(y2+1)

=

y1+y2+2

2(y1+1)(y2+1)

=0．
∴直線MA，MB與X軸總圍成等腰三角形．

點評：本題考查了直線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，考查了數學轉化思想方法，解答的關鍵是把要證明的問題轉化為兩直線的斜率和等于0，是高考試卷中的壓軸題．