Question

如圖，已知焦點在x軸上的橢圓

x2

20

+

y2

b2

=1(b＞0)經過點M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓于A，B兩不同的點．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）求實數m的取值范圍；
（3）是否存在實數m，使△ABM為直角三角形，若存在，求出m的值，若不存，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓方程的標準形式，由離心率的值及橢圓過點（4，1）求出待定系數，得到橢圓的標準方程．
（2）把直線方程代入橢圓的方程，由判別式大于0，求出m的范圍即可；
（3）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在實數m滿足題意，再利用△ABM為直角三角形，結合向量垂直的條件求出m，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）依題意

16

20

+

1

b2

=1，解得b²=5，…（2分）
所以橢圓的標準方程是

x2

20

+

y2

5

=1．…（3分）
（2）由

y=x+m x2 20 + y2 5 =1

得5x²+8mx+4m²-20=0，…（4分）
∵直線l與橢圓有兩個不同的交點，
∴△=（8m）²-20（4m²-20）=-16m²+400＞0…（6分）
解得-5＜m＜5．…（7分）
（3）假設存在實數m滿足題意，
當MA⊥AB時，直線MA的方程為y-1=-（x-4），即y=-x+5．
由

y=-x+5 x2 20 + y2 5 =1

得x²-8x+16=0，解得

x=4 y=1

．
故A（4，1），與點M重合，不合題意．
同理，當MB⊥AB時，也不合題意．…（9分）
當MA⊥MB時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（2）得x1+x2=-

8m

5

，x1•x2=

4m2-20

5

，
y₁+y₂=x₁+x₂+2m，y₁•y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²．…（10分）
∵

MA

=(x1-4，y1-1)，

MB

=(x2-4，y2-1)
∴

MA

•

MB

=(x1-4)(x2-4)+(y1-1)(y2-1)…（11分）
=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）+m²-2m+17
=2•

4m2-20

5

+(m-5)(-

8m

5

)+m2-2m+17
=

40m-40

5

+m2-2m+17=m²+6m+9．…（13分）
又

MA

•

MB

=0，
∴m²+6m+9=0，
解得m=-3∈（-5，5），
綜上所述，存在實數m=-3使△ABM為直角三角形．…（14分）

點評：本題考查用待定系數法求橢圓的標準方程，一元二次方程根與系數的關系，體現了等價轉化的數學思想．