Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：(a＞b＞0)經過點(0，)，點F是橢圓的右焦點，點F到左頂點的距離和到右準線的距離相等．過點F的直線交橢圓于M，N兩點．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）當MF＝2FN時，求直線的方程；

（3）若直線上存在點P滿足PM·PN＝PF2，且點P在橢圓外，證明：點P在定直線上．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）由題意，b＝，再由點F到左頂點的距離和到右準線的距離相等，得a+c＝，結合隱含條件解得a＝2，c＝1，則橢圓方程可求；

（2）當直線l與x軸重合時，求得MF＝3NF，不合題意；當直線l與x軸不重合時，設直線l的方程為x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），聯立直線方程與橢圓方程，化為關于y的一元二次方程，由根與系數的關系及MF＝2FN求得m值，則直線方程可求；

（3）當直線l的斜率為0時，設P（x0，y0），由PMPN＝PF2，求得，當直線l的斜率不為0時，由（2）中的根與系數的關系及PMPN＝PF2，求得，代入直線方程得，由此可得點P在定直線上．

（1）設橢圓的截距為2c，由題意，b＝，

由點F到左頂點的距離和到右準線的距離相等，得a+c＝，

又a2＝b2+c2，聯立解得a＝2，c＝1．

∴橢圓C的標準方程為；

（2）當直線l與x軸重合時，M（﹣2，0），N（2，0），此時MF＝3NF，不合題意；

當直線l與x軸不重合時，設直線l的方程為x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），

聯立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．△＝36m2+36（m2+4）＞0．

①，②，由MF＝2FN，得y1＝﹣2y2③，

聯立①③得，，

代入②得，，解得．∴直線方程為；

（3）當直線l的斜率為0時，則M（2，0），N（﹣2，0），設P（x0，y0），

則PMPN＝|（x0﹣2）（x0+2）|，∵點P在橢圓外，∴x0﹣2，x0+2同號，

又，解得．

當直線l的斜率不為0時，由（2）知，，

．

∵點P在橢圓外，∴y1﹣y0，y2﹣y0同號，

∴PMPN＝（1+m2）（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝

，

整理得，代入直線方程得．∴點P在定直線上．