Question

設數列{a_n}滿足a₁=0，a_n+1=ca_n³+1-c，c∈N*，其中c為實數。
（1）證明：a_n∈[0，1]對任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0，1]；
（2）設0＜c＜，證明：a_n≥1-（3c）^n-1，n∈N*；
（3）設0＜c＜，證明：，n∈N*。

Answer 1

解：（1）必要性：∵，
又∵，
∴，
即
充分性：設，對任意用數學歸納法證明
當時，
假設當時，，
則，
且，
由數學歸納法知，對任意成立。
（2）設，當時，，結論成立；
當時，∵，
∴
∵，由（1）知，
∴且，
∴，
∴。
（3）設，當時，，結論成立；
當時，由（2）知，
∴
∴
。