Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）若存在單調增區間，求的取值范圍；

（Ⅱ）是否存在實數，使得方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，求出的取值范圍？若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）對進行求導，存在單調遞增區間，轉化有正解，分類討論求的取值范圍.

（Ⅱ）方程在內有且只有兩個不相等的實數根轉化在上存在兩個零點，求導，研究單調性,限制端點值及極小值即可得解.

（Ⅰ）由已知，得，且.

則

∵函數存在單調遞增區間.

∴，有的解.

①當時，的圖象為開口向下的拋物線，要使總有的解，則方程至少有一個不重復正根，而方程總有兩個不相等的根時，則必定是兩個不相等的正根，故只需，即，即.

②當時，的圖象為開口向上的拋物線，一定有的解.

綜上，的取值范圍是.

（Ⅱ）方程

得為，

等價于方程.

設.于是原方程在區間內根的問題，轉化為函數在區間內的零點問題.

當時，，是減函數；

當時，，是增函數；

若在內有且只有兩個不相等的零點，只須

解得