Question

【題目】已知等差數列{an}中，a5＝8，a10＝23．

（1）令，證明：數列{bn}是等比數列；

（2）求數列{nbn}的前n項和Sn．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）Sn＝（n﹣1）2n+1+2．

【解析】

（1）由題意可得an＝3n-7，則，即可得證；

（2）由nbn＝n2n利用錯位相減法即可求得Sn，即可得解.

（1）證明：設等差數列{an}的公差為d，∵a5＝8，a10＝23，

∴a1+4d＝8，a1+9d＝23，

聯立解得：a1＝-4，d＝3，

∴an＝-4+3（n﹣1）＝3n-7．

∴，

∴2．

∴數列{bn}是等比數列，首項為2，公比為2．

（2）nbn＝n2n．

∴數列{nbn}的前n項和Sn＝2+2×22+3×23+……+n2n．

∴2Sn＝22+2×23+……+（n﹣1）2n+n2n+1．

∴兩式相減得﹣Sn＝2+22+……+2n﹣n2n+1n2n+1．

∴Sn＝（n﹣1）2n+1+2．