Question

若函數滿足下列條件：在定義域內存在使得成立，則稱函數具有性質；反之，若不存在，則稱函數不具有性質.
（1）證明：函數具有性質，并求出對應的的值；
（2）已知函數具有性質，求的取值范圍；
（3）試探究形如①、②、③、④、⑤的函數，指出哪些函數一定具有性質?并加以證明.

Answer 1

（1）證明：代入得：
即，解得
∴函數具有性質.
（2）解:的定義域為R，且可得，
∵具有性質，
∴存在，使得,代入得
化為
整理得: 有實根
①若,得，滿足題意；
②若,則要使有實根，只需滿足,
即，解得
∴ 
綜合①②,可得
（3）解法一：函數恒具有性質，即關于的方程（*）恒有解.
①若，則方程（*）可化為
整理，得
當時，關于的方程（*）無解
∴不恒具備性質；
②若，則方程（*）可化為，解得.
∴函數一定具備性質.
③若，則方程（*）可化為無解
∴不具備性質；
④若，則方程（*）可化為，化簡得
當時，方程（*）無解
∴不恒具備性質；
⑤若，則方程（*）可化為，化簡得
顯然方程無解
∴不具備性質；
綜上所述，只有函數一定具備性質.
解法二：函數恒具有性質，即函數與的圖象恒有公共點.由圖象分析，可知函數一定具備性質.
下面證明之：
方程可化為，解得.
∴函數一定具備性質.

略