Question

如圖，在四棱錐中，//，，，

平面，.

（1）求證：平面；

（2）設點為線段上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求 的值．

 

 

Answer 1

（1）證明：見解析；（2） 的值為.

【解析】

試題分析：解答該題可有兩種思路，一是利用空間向量方法；二是利用幾何法.注意到建立空間直角坐標系較為方便，因此利用“向量法”較好.

（1）以為坐標原點，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，

通過計算，

.

證得，. 進一步得證.

（2）設（其中），，線與平面所成角為.所以. 所以.

即 .

由平面的一個法向量為.

計算得到，

根據.

解得 .

試題解析：（1）證明：因為平面，，所以以為坐標原點，

所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，

則，，，. 2分

所以 ，，，

所以，

.

所以 ，. 4分

因為 ，平面，平面，

所以 平面. 6分

（2）【解析】
設（其中），，線與平面所成角為.所以. 所以.

即 . 9分

由（1）知平面的一個法向量為.

因為 ， 12分

得 .

解得 .所以. 14分

 

法2：

(1) 依題意：∽,

所以，又因為，

所以，所以 ..2分

又因為平面，平面

所以 ..4分

因為，平面，平面，

所以平面. 6分

（2）【解析】
設（），，直線與平面所成角為.

記交于，連結.過作平行于，交于. 連結、.

由（1）知，平面，平面，

即為與平面所成角. ①. 8分

設（），則.

在中，，，.

易證∽，，即，

， ②.

在中，，，，

.

在中，，，.

根據余弦定理有：， 12分

即，

解得 ③.

將②，③代入①，解得. 14分

考點：1.空間垂直關系；2.空間的角；3.空間向量方法.