Question

（本小題滿分10分）在如圖所示的多面體中，四邊形為正方形，四邊形是直角梯形，，平面，．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的大小．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題中所給圖形的特征，不難想到建立空間直角坐標(biāo)，由已知，，，兩兩垂直，可以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系．表示出圖中各點的坐標(biāo)：設(shè)，則，，，，則可表示出，，，根據(jù)數(shù)量積為零與垂直的充要條件進(jìn)行證明，由，，故，，即可證明；（2）首先求出兩個平面的法向量，其中由于平面，所以可取平面的一個法向量為；設(shè)平面的一個法向量為，則，，故即取，則，故，轉(zhuǎn)化為兩個法向量的夾角，設(shè)與的夾角為，則．即可求出平面與平面所成的銳二面角的大小.

試題解析：（1）由已知，，，兩兩垂直，可以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，，，，

故，，，

因為，，故，，

即，， 又

所以，平面．

（2）因為平面，所以可取平面的一個法向量

為，

點的坐標(biāo)為，則，，

設(shè)平面的一個法向量為，則，，

故即取，則，

故．

設(shè)與的夾角為，則．

所以，平面與平面所成的銳二面角的大小為

考點：1.空間向量的應(yīng)用；2.二面角的計算；3.直線與平面的位置關(guān)系