Question

（2007•上海）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A'B'C'D'中，E，F分別是A'B'和AB的中點，求異面直線A'F與CE所成角的大小 （結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

分析：（法一）如圖建立空間直角坐標系，把要求的角轉化為向量

A′F

，

CE

的夾角，用坐標運算求解；（法二）：連接EB，可證A'FBE是平行四邊形，可得異面直線A'F與CE所成的角就是CE與EB所成的角，在Rt△CEB中，可得tan∠CEB=

2 5

5

，由反正切可得所求的角．

解答：解：（法一）如圖建立空間直角坐標系．   …（2分）

由題意可知A′（2，0，2），C（0，2，0），E（2，1，2），F（2，1，0）．
∴

A′F

=( 0，1，-2 )，

CE

=( 2，-1，2 )．…（6分）
設直線A′F與CE所成角為θ，
則cosθ=

|  A′F • CE  |

|  A′F  |•|  CE  |

=

5

5 •3

=

5

3

．  …（10分）
∴θ=arccos

5

3

，
即異面直線A'F與CE所成角的大小為arccos

5

3

．          …（12分）
（法二）：連接EB，…（2分）

∵A'E∥BF，且A'E=BF，∴A'FBE是平行四邊形，則A'F∥EB，
∴異面直線A'F與CE所成的角就是CE與EB所成的角．     …（6分）
由CB⊥平面ABB'A'，得CB⊥BE．
在Rt△CEB中，CB=2，BE=

5

，
則tan∠CEB=

2 5

5

，…（10分）
∴∠CEB=arctan

2 5

5

．
∴異面直線A'F與CE所成角的大小為arctan

2 5

5

．         …（12分）

點評：本題考查異面直線所成的角，涉及反三角函數的應用，屬中檔題．