Question

（2007•上海模擬）一個多面體的直觀圖，前視圖（正前方觀察），俯視圖（正上方觀察），側視圖（左側正前方觀察）如圖所示．
（1）求A₁A與平面ABCD所成角的大小及面AA₁D₁與面ABCD所成二面角的大小；
（2）求此多面體的表面積和體積．

Answer 1

分析：（1）先尋找直線與平面的所成角，取AB中點H，連接A₁H，根據線面所成角的定義可知∠A₁AB是A₁A與平面ABCD所成的角，在三角形A₁AB中求出此角的正切值即可，先尋找二面角的平面角，取AD中點K，連接D₁K，KH，取HK的中點M，取A₁D₁的中點N，連接MN，AM，AN，根據二面角平面角的定義可知∠MAN就是面AA₁D₁與面ABCD所成的二面角，然后在三角形MAN中求出此角的余弦值即可．
（2）根據該多面體為長方體削去四個全等的三棱錐，先求出三棱錐的體積，然后利用長方體的體積減去四個全等的三棱錐的體積即可求出所求．

解答：解：（1）由已知圖可得，平面A₁AB⊥平面ABCD，取AB中點H，連接A₁H，
在等腰△A₁AB中，有A₁H⊥AB，則A₁H⊥平面ABCD．
∴∠A₁AB是A₁A與平面ABCD所成的角．
∵A₁H=2AH，∴tan∠A1AB=

A1H

AH

=2．
故A₁A與平面ABCD所成角為arctan2．
取AD中點K，連接D₁K，KH，
同理有D₁K⊥平面ABCD，即△AHK是△AA₁D₁在平面ABCD內的射影．
取HK的中點M，取A₁D₁的中點N，連接MN，AM，AN，
則∠MAN就是面AA₁D₁與面ABCD所成的二面角．
∵MN=a，AM=

2

4

a，∴tan∠MAN=

MN

AM

=2

2

．即 cos∠MAN=

1

3

．
∴面AA₁D₁與面ABCD所成二面角的余弦值為

1

3

．
（2）∵該多面體為長方體削去四個全等的三棱錐，
此多面體的表面積S=a2+4•

3

8

a2+4•

1

2

a2+(

2

2

a)2=5a2
每個三棱錐的體積都為

1

3

•

1

2

•

a

2

•

a

2

•a=

1

24

a3．
∴此多面體的體積 V=a3-4•

1

24

a3=

5

6

a3．

點評：本題主要考查了線面所成角以及二面角的度量，三棱錐的體積和表面積，屬于中檔題．