Question

【題目】已知O為坐標原點，對于函數，稱向量為函數的伴隨向量，同時稱函數為向量的伴隨函數.

（1）設函數，試求的伴隨向量；

（2）記向量的伴隨函數為，求當且時的值；

（3）由（1）中函數的圖象（縱坐標不變）橫坐標伸長為原來的2倍，再把整個圖象向右平移個單位長度得到的圖象，已知，，問在的圖象上是否存在一點P，使得.若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，

【解析】

(1)利用三角函數誘導公式化簡函數得，根據題意寫出伴隨向量； (2)根據題意求出函數，再由及求出及，由展開代入相應值即可得解；(3) 根據三角函數圖像變換規則求出的解析式，設，由得列出方程求出滿足條件的點P的坐標即可.

（1）∵

∴

∴的伴隨向量

（2）向量的伴隨函數為，

，

，

（3）由（1）知：

將函數的圖像（縱坐標不變）橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數

再把整個圖像向右平移個單位長得到的圖像，得到

設，∵

∴，

又∵，∴

∴

∴（*）

∵，∴

∴

又∵

∴當且僅當時，和同時等于，這時（*）式成立

∴在的圖像上存在點，使得.