Question

已知函數f(x)=lnx，g(x)=

a

x

(a＞0)，設F(x)=f(x)+g(x)．
（I）求函數F（x）的單調區間；
（II）若以函數y=F（x）（x∈（0，3]）的圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

3

恒成立，求實數a的最小值；
（III）是否存在實數m，使得函數y=g(

2a

x2+1

)+m-1的圖象與函數y=f（1+x²）的圖象恰有四個不同的交點？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）先求出其導函數，根據導函數的正負即可求出其單調區間；
（II）先把問題轉化為F'（x₀）=

x0-a

x02

≤

1

3

恒成立；再結合二次函數即可求出結論；
（III）先根據條件把問題轉化為m=ln（1+x²）-

1

2

x²-

1

2

有四個不同的根；求出其導函數，找到其極值點，根據極值即可得到結論．

解答：解：（I）∵f(x)=lnx，g(x)=

a

x

(a＞0)，設F(x)=f(x)+g(x)．
∴F'（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，（x＞0）；
∵x＞0；
所以：F'（x）＞0⇒x＞a．
∴F（x）在（a，+∞）上遞增；
 F'（x）＜0⇒0＜x＜a，
 F（x）在（0，a）上遞減．
所以：函數F（x）的單調增區間為（a，+∞），單調減區間為（0，a）．
（II）因為：F'（x）=

x-a

x2

 （0＜x≤3），
則k=F'（x₀）=

x0-a

x02

≤

1

3

恒成立；
即a≥-

1

3

x02+x₀在（0，3]上恒成立，
當x₀=

3

2

時，-

1

3

x02+x₀取最大值

3

4

，
∴a≥

3

4

．
即a的最小值為

3

4

．
（III）y=g(

2a

x2+1

)+m-1=

1

2

x²+m-

1

2

的圖象與函數y=f（1+x²）=ln（1+x²）的圖象恰有四個不同的交點，
即，

1

2

x²+m-

1

2

=ln（1+x²）有四個不同的根，亦即m=ln（1+x²）-

1

2

x²-

1

2

有四個不同的根；
令G（x）=ln（1+x²）-

1

2

x²-

1

2

；
則G'（x）=

2x

x2+1

-x=

2x-x3-x

x2+1

=

-x(x+1)(x-1)

x2+1

；
當x變化時，G'（x），G（x）的變化情況如下表，

由表格知，G（x）的極小值G（0）=

1

2

，G（x）的極大值G（1）=G（-1）=ln2＞0．
∴m∈（

1

2

，ln2），y=G（x）與y=m恰有四個不同的交點，
即當m∈（

1

2

，ln2）時，函數y=g(

2a

x2+1

)+m-1的圖象與函數y=f（1+x²）的圖象恰有四個不同的交點．

點評：本題主要考察了應用導數求函數的單調區間，極值，最值，以及恒成立問題的判斷．