Question

【題目】已知數(shù)列和滿足：， ，，其中.

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，問(wèn)是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在正整數(shù)，使得成立，且的最小值為3

【解析】試題分析：（1） （）中n用n-1代，得 ，兩式作差，可求得，要檢驗(yàn)n=1時(shí)。（2）通過(guò)待定系數(shù)法可求得，再由，得：，可知{}是等比數(shù)列，求得。另由錯(cuò)位相減法可求得前n項(xiàng)和,代入，即：

化簡(jiǎn)得：，由于f(m)=是單調(diào)遞增函數(shù)，所以采用逐個(gè)檢驗(yàn)法可求解。

試題解析：（1）由 （）①

得：當(dāng)時(shí)，，故

當(dāng)時(shí)， ②

①－②得：（）

∴

又上式對(duì)也成立

∴

由變形得：

由，得：

∴，故

（2）由（1）知：③

④

③－④得：

∴

假設(shè)存在正整數(shù)，使得，即：

化簡(jiǎn)得：

由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性知，是關(guān)于的增函數(shù)

又，

∴當(dāng)時(shí)，恒有

∴存在正整數(shù)，使得成立，且的最小值為3.