Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，平面，.過的中點作于點，連接，.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，求的長.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）1

【解析】

（1）先證明，接著證明平面，.然后運用線面垂直的判定定理求出結果

（2）分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，求出法向量，由公式計算出結果

（Ⅰ）∵平面，平面，

∴平面平面.

∵四邊形是矩形，∴.

又∵平面平面，

∴平面，∴.

∵，為的中點，∴.

又∵，∴平面.

（Ⅱ）設，如圖，以點為坐標原點，

分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系.

則，，.

由（Ⅰ）知平面，∴.

又∵，，∴平面.

∴是平面的一個法向量，

易知是平面的一個法向量.

∴ .

解得，

即的長為1.