Question

有下列幾個命題：
①函數y=

1

x+1

在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是減函數；
②已知f（x）在R上是增函數，若a+b＞0，則有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
③已知函數y=f（x）是R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)=x(1+

3	x

)，則當x＜0時，f(x)=-x(1-

3	x

)；
④已知定義在R上函數f（x）滿足對?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，則f（x）是R上的增函數；⑤如果a＞1，則函數f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）有兩個零點．
其中正確命題的序號是

 

．（寫出全部正確結論的序號）

Answer 1

分析：分別利用函數的單調性與單調區間的性質，可以判斷（1）（2）（4）的正誤，利用函數的奇偶性和函數零點的結論，可以判斷出（3）（5）的正誤，最后可以得出正確命題的序號．

解答：解：對于①，函數y=

1

x+1

的圖象有兩支，所以單調減區間應該是（-∞，-1）和（-1，+∞）上是減函數，不能用并集符號，是假命題；
對于②，由a+b＞0得a＞-b，根據增函數性質得f（a）＞f（-b），同理可得f（b）＞f（-a），兩式相加可得f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b），②是真命題；
對于③當x＜0時，-x＞0，故f（-x）=-x（1+

3	-x

）=-f（x），因此f（x）=-x(1-

3	x

)，③是真命題；
對于④，對?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），可以先取y=0，得f（x+0）=f（x）+f（0）⇒f（0）=0
再取y=-x，得f（x+（-x））=f（x）+f（-x）=0，所以函數為奇函數，
再用單調性的定義結合當x＞0時，f（x）＞0，可以證得f（x）是R上的增函數；
對于⑤，f（x）=a^x-x-a=0等價于：a^x=x+a，由于a＞1，可在同一坐標系內作出方程兩邊對應的圖象，可得兩個圖象有兩個公共點，所以⑤是真命題．
故答案為②④⑤

點評：本題著重考查了函數的奇偶性和單調性的判斷、函數的零點和命題真假的判斷等問題，屬于綜合題．