Question

設函數f（x）=x|x|+bx+c（b，c∈R），則下列命題中正確的是（　　）

• A、“b≥0”是“函數y=f（x）在R上單調遞增”的必要非充分條件
• B、“b＜0，c＜0”是“方程f（x）=0有兩個負根”的充分非必要條件
• C、“c=0”是“函數y=f（x）為奇函數”的充要條件
• D、“c＞0”是“不等式f(x)≥( 2

  c

  +b)x對任意x∈R⁺恒成立”的既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：本選擇題利用直接法解決．由于“c=0”與“函數y=f（x）為奇函數”可以互相推出，即“c=0”是“函數y=f（x）為奇函數”的充要條件，故可直接得出正確答案了．

解答：解：當c=0時，函數f（x）=x|x|+bx，
∴函數f（-x）=-x|-x|+b-x=-（x|x|+bx）=-f（x）
∴函數y=f（x）為奇函數；
反之，當函數y=f（x）為奇函數時，
f（-x）=-f（x）
∴-x|-x|-bx=-（x|x|+bx）
∴2bx=0?b=0．
∴“c=0”是“函數y=f（x）為奇函數”的充要條件
故選C．

點評：本題考查利用函數的奇偶性的定義判斷函數的奇偶性，對充要條件的判斷，關鍵要注意從兩方面進行推導，而有些同學會忘記，只證明一方面．