Question

【題目】已知函數f（x）=lnx，g（x）= x2﹣bx（b為常數）．
（1）函數f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線與函數g（x）的圖象相切，求實數b的值；
（2）若函數h（x）=f（x）+g（x）在定義域上存在單調減區間，求實數b的取值范圍；
（3）若b≥2，x1 ， x2∈[1，2]，且x1≠x2 ， 都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）=lnx，所以 ，因此f'（1）=1，

所以函數f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=x﹣1，

由 得x2﹣2（b+1）x+2=0．

由△=4（b+1）2﹣8=0，得 ．

（還可以通過導數來求b）

（2）解：因為h（x）=f（x）+g（x）= （x＞0），

所以 ，

由題意知h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，

因為x＞0，設u（x）=x2﹣bx+1，因為u（0）=1＞0，

則只要 ，解得b＞2，

所以b的取值范圍是（2，+∞）

（3）解：不妨設x1＞x2，

因為函數f（x）=lnx在區間[1，2]上是增函數，

所以f（x1）＞f（x2），

函數g（x）圖象的對稱軸為x=b，且b＞2．

當b≥2時，函數g（x）在區間[1，2]上是減函數，

所以g（x1）＜g（x2），

所以|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|，

等價于f（x1）﹣f（x2）＞g（x2）﹣g（x1），

即f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），

等價于h（x）=f（x）+g（x）= 在區間[1，2]上是增函數，

等價于 在區間[1，2]上恒成立，

等價于 在區間[1，2]上恒成立，所以b≤2，又b≥2，所以b=2

【解析】（1）求出函數的導數根據二次函數的性質求出b的值即可；（2）求出h（x）的導數，結合二次函數的性質得到關于b的不等式組，解出即可；（3）問題等價于f（x1）﹣f（x2）＞g（x2）﹣g（x1），即h（x）=f（x）+g（x）= 在區間[1，2]上是增函數，根據函數的單調性求出b的范圍即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．