Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面BB₁C₁C與底面ABC垂直，BB₁=BC，∠B₁BC=60°，AB=AC，M是B₁C₁的中點，
（1）求證：AB₁∥平面A₁CM；
（2）若AB₁與平面BB₁C₁C所成的角為45⁰，求二面角B-AC-B₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先連接AC₁，交A₁C于N，連接MN，根據中位線定理得到MN∥AB₁，再由線面平行的判定定理可證AB₁∥平面A₁CM，得證．
（2）先作BC的中點O，連接AO、B₁O，根據面面垂直的性質定理可知AO⊥面BB₁C₁C，進而知∠AB₁O是AB₁與平面BB₁C₁C所成的角，再由BB₁=BC，∠B₁BC=60°可得△B₁BC是正三角形且B₁O⊥BC，然后以O為原點，分別以OB、OB₁、OA為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系，假設OA=a，則可得A、B₁C、O的坐標，進而可表示出

AC

、

AO

、

AB1

的坐標，因為OB₁⊥平面ABC，得到

OB1

是平面ABC的一個法向量，然后表示出平面AB₁C的法向量，可得到＜

n1

，

n2

＞=arccos

5

5

，即二面角B-AC-B₁的大小是 arccos

5

5

．

解答：證明：（1）如圖，連接AC₁，交A₁C于N，連接MN．
∵M是中點，N是AC₁的中點，
∴MN∥AB₁．
∵MN?平面A₁CM，
∴AB₁∥平面A₁CM．
（II）作BC的中點O，連接AO、B₁O．
∵AB=AC，
∴AO⊥BC．
∵側面BB₁C₁C與底面ABC垂直，
∴AO⊥面BB₁C₁C，
∴∠AB₁O是AB₁與平面BB₁C₁C所成的角，即∠AB₁O=45°，從而AO=B₁O．
又∵BB₁=BC，∠B₁BC=60°，
∴△B₁BC是正三角形，所以B₁O⊥BC．
以O為原點，分別以OB、OB₁、OA為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系．
設OA=a，則A（0，0，a），B₁（0，a，0），C（ -

3

3

a，0，0），O（0，0，0），
∴

AC

=(-

3

3

a，0，-a)，

AO

=(0，0，-a)，

AB1

=(0，a，-a)．
∵OB₁⊥平面ABC，故

OB1

是平面ABC的一個法向量，設為

n1

，
則

n1

=

OB1

=(0，a，0)，
設平面AB₁C的法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂），
由

AC

•

n2

=0且

AB1

•

n2

=0得

- 3 3 x2-z2=0 y2-z2=0

令y₂=a，得

n2

=（ -

3

a，a，a）．
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

1× 5

=

5

5

，
∴＜

n1

，

n2

＞=arccos

5

5

．
即二面角B-AC-B₁的大小是 arccos

5

5

．

點評：本題主要考查線面平行的判定定理和用向量的思想解決立體幾何中的平面夾角問題．考查考生的知識的綜合運用能力和計算能力，用向量的思想解決二面角問題，是這幾年高考的熱點問題，要強化復習．