Question

21、已知定義域為R的函數f（x）滿足f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．
（I）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；
（II）設有且僅有一個實數x₀，使得f（x₀）=x₀，求函數f（x）的解析表達式．

Answer 1

分析：（I）由題意知f（f（2）-2²+2）=f（2）-2²+2，f（1）=1，由上此可推出f（a）=a．
（II）因為對任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．又因為有且只有一個實數x₀，使得f（x₀）=x₀
所以對任意x∈R，有f（x）-x²+x=x₀，因為f（x₀）=x₀，所以x₀-x₀²=0，故x₀=0或x₀=1．由此可推導出f（x）=x²-x+1（x∈R）．

解答：解：（I）因為對任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x
所以f（f（2）-2²+2）=f（2）-2²+2
又由f（2）=3，得f（3-2²+2）=3-2²+2，即f（1）=1
若f（0）=a，則f（a-0²+0）=a-0²+0，即f（a）=a．
（II）因為對任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．
又因為有且只有一個實數x₀，使得f（x₀）=x₀
所以對任意x∈R，有f（x）-x²+x=x₀
在上式中令x=x₀，有f（x₀）-x₀²+x₀=x₀
又因為f（x₀）=x₀，所以x₀-x₀²=0，故x₀=0或x₀=1
若x₀=0，則f（x）-x²+x=0，即f（x）=x²-x
但方程x²-x=x有兩個不相同實根，與題設條件矛盾．故x₀≠0
若x₀=1，則有f（x）-x²+x=1，即f（x）=x²-x+1．易驗證該函數滿足題設條件．
綜上，所求函數為f（x）=x²-x+1（x∈R）

點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．