Question

（本小題滿分12分）

已知點是橢圓的右焦點，點、分別是軸、軸上的動點，且滿足．若點滿足．

（I）求點的軌跡的方程；

（II）設過點任作一直線與點的軌跡交于、兩點，直線、與直線分別交于點、（為坐標原點），試判斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）橢圓右焦點的坐標為，………………1分

．

，

由，得．                 …………………………3分

設點的坐標為，由，有，

代入，得．           …………………………6分

（2）(法一)設直線的方程為，、，

則，．                ………………………………7分

由，得， 同理得．…………………………8分

，，則．  ………9分

由，得，．   ……………………10分

則．           …………………………11分

因此，的值是定值，且定值為．         …………………………………12分

 (法二)①當時， 、，則，   ．

由 得點的坐標為，則．

由 得點的坐標為，則．

．  ………………………………………7分

②當不垂直軸時，設直線的方程為，、，同解法一，得．   …………………………………9分

由，得，．……………………10分

則．           …………………………11分

因此，的值是定值，且定值為．         …………………………………12分

【解析】略