Question

【題目】如圖，三棱柱中，側棱底面，且各棱長均相等， 分別為棱的中點.

（1）證明平面；

（2）證明平面平面；

（3）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）連接，根據平幾知識得四邊形為平行四邊形，即得，根據線面平行判定定理得結論（2）先根據正三角形性質得，再根據線面垂直條件得，可得平面，最后根據面面垂直判定定理得結論（3）過點作，則根據面面垂直性質定理得平面.即為直線與平面所成的角.最后通過解三角形得直線與平面所成角的正弦值.

試題解析：（1）證明：如圖，在三棱柱中， ，且，連接，在中，因為分別為的中點，

所以且，

又因為為的中點，可得，且，即四邊形為平行四邊形，所以.

又平面， 平面，所以平面.

（2）證明：由于底面是正三角形， 為的中點，故，

又由于側棱底面， 平面，所以，

又，因此平面，而平面，

所以平面平面.

（3）解：在平面內，過點作交直線于點，連接

由于平面平面，而直線是平面與平面的交線，故平面.由此得為直線與平面所成的角.

設棱長為，可得，由，易得.

在中， .所以直線與平面所成角的正弦值為.