Question

已知a+a^-1=7，求下列各式的值：
（1）

a 3 2 -a- 3 2

a 1 2 -a- 1 2

； （2）a

1

2

+a-

1

2

； （3）a2-a-2

&(a＞1)

．

Answer 1

分析：（1）原式=

(a 1 2 )3-(a- 1 2 )3

a 1 2 -a- 1 2

=

(a 1 2 -a- 1 2 )(a+a-1+1)

a 1 2 -a- 1 2

=a+a-1+1=7+1=8．
（2）a+a-1=(a

1

2

+a-

1

2

)2-2a

1

2

•a-

1

2

=(a

1

2

+a-

1

2

)2-2=7，由此能求出a

1

2

+a-

1

2

．
（3）a+a-1=(a

1

2

-a-

1

2

)2+2a

1

2

•a-

1

2

=(a

1

2

-a-

1

2

)2+2=7，由此能求出a²-a^-2，（a＞1）．

解答：解：（1）

a 3 2 -a- 3 2

a 1 2 -a- 1 2

=

(a 1 2 )3-(a- 1 2 )3

a 1 2 -a- 1 2

=

(a 1 2 -a- 1 2 )(a+a-1+1)

a 1 2 -a- 1 2

=a+a-1+1=7+1=8．
（2）a+a-1=(a

1

2

+a-

1

2

)2-2a

1

2

•a-

1

2

=(a

1

2

+a-

1

2

)2-2=7；
∵a

1

2

+a-

1

2

＞0，
∴a

1

2

+a-

1

2

=3
（3）a+a-1=(a

1

2

-a-

1

2

)2+2a

1

2

•a-

1

2

=(a

1

2

-a-

1

2

)2+2=7
∵a＞1，
∴a

1

2

-a-

1

2

=

5

，
∴a-a-1=(a

1

2

+a-

1

2

)(a

1

2

-a-

1

2

)
=3

5

a²-a^-2
=（a-a^-1）（a+a^-1）
=21

5

．

點評：本題考查有理數指數冪的化簡求值，解題時要認真審題，仔細解答，注意計算能力的培養．