Question

【題目】已知函數f(x)＝x2＋mx＋n(m，n∈R)滿足f(0)＝f(1)，且方程x＝f(x)有兩個相等的實數根．

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)當x∈[0,3]時，求函數f(x)的值域．

Answer 1

【答案】(1) f(x)＝x2－x＋1.

(2) .

【解析】分析：（1）根據，求出m的值，再根據方程有兩個相等的實數根，得到判別式，求出n的值，從而求出函數的解析式；

（2）根據二次函數的性質，求出其對稱軸，得到函數的單調區間，從而求出函數的值域.

詳解： (1)∵f(x)＝x2＋mx＋n，且f(0)＝f(1)，

∴n＝1＋m＋n，∴m＝－1，∴f(x)＝x2－x＋n.

∵方程x＝f(x)有兩個相等的實數根，即x2－2x＋n＝0有兩個相等的實數根，

∴(－2)2－4n＝0，∴n＝1，∴f(x)＝x2－x＋1.

(2)由(1)知f(x)＝x2－x＋1. 此函數的圖象是開口向上，對稱軸為x＝的拋物線，

∴當x＝時，f(x)有最小值f.

而f＝2－＋1＝，f(0)＝1，f(3)＝32－3＋1＝7，

∴當x∈[0,3]時，函數f(x)的值域是.