Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（1）證明：BD⊥AA₁；
（2）證明：平面AB₁C//平面DA₁C₁
（3）在直線CC₁上是否存在點P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析。
（2）證明見解析。
（3）存在

證明：（1）連BD，∵面ABCD為菱形，∴BD⊥AC
由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
則BD⊥平面AA₁C₁C 故： BD⊥AA₁
（2）連AB₁，B₁C，由棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的性質知
AB₁//DC₁，AD//B₁C，AB₁∩B₁C=B₁,A₁D∩DC₁=D
由面面平行的判定定理知：平面AB₁C//平面DA₁C₁
（3）存在這樣的點P
因為A₁B₁∥AB∥DC，∴四邊形A₁B₁CD為平行四邊形．
∴A₁D//B₁C
在C₁C的延長線上取點P，使C₁C=CP，連接BP，
因B₁B∥CC₁，∴BB₁∥CP，∴四邊形BB₁CP為平行四邊形
則BP//B₁C，∴BP//A₁D∴BP//平面DA₁C₁