Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，P為橢圓上除長軸端點外的任一點，F₁，F₂為橢圓的兩個焦點．
（1）若∠PF₁F₂=α，∠PF₁F₂=β，求證：離心率e=

cos α+β 2

cos α-β 2

；
（2）若∠F₁PF₂=2θ，求證：△F₁PF₂的面積為b²•tanθ．

Answer 1

分析：（1）根據∵∠PF₁F₂和∠PF₁F₂求得∠F₁PF₂，進而根據正弦定理分別求得|PF₁|和|PF₂|，代入|PF₁|+|PF₂|=2a中求得a和c的關系，求得離心率．
（2）設PF₁=x，PF₂=y，根據橢圓的定義可知x+y=2a，進而可得x²+y²=4a²-2xy代入余弦定理中，求得xy，然后根據三角形面積公式化簡整理即可得出答案．

解答：（1）證明∵∠PF₁F₂=α，∠PF₁F₂=β，
∴∠F₁PF₂=180°-α-β
∴sin∠F₁PF₂=sin（α+β）
由正弦定理可得

PF 1

sinβ

= 

2c

sin(α+β)

，

PF 2

sinα

=

2c

sin(α+β)

∴|PF₁|=

2csinβ

sin(α+β)

，|PF₂|=

2csinα

sin(α+β)

根據橢圓的定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a
∴a=

c(sinα+sinβ)

sin(α+β)

=c•

2sin α+β 2 cos α-β 2

2sin α+β 2 cos α+β 2

=c•

cos α-β 2

cos α+β 2

∴e=

c

a

=

cos α+β 2

cos α-β 2

（2）證明：設PF₁=x，PF₂=y
則根據橢圓的定義可知x+y=2a，
∴x²+y²=4a²-2xy
由余弦定理可知cos2θ=

x2+y2-4c2

2xy

=

4a2-2xy-4c2

2xy

∴xy=

2b2

cos2θ+1

=

2b2

2cos 2θ

∴：△F₁PF₂的面積S=

1

2

xysin2θ=

2sinθcosθb2

2cos 2θ

=b2•

sinθ

cosθ

=b²•tanθ

點評：本題主要考查了橢圓的應用及解三角形問題．解題的關鍵是充分利用橢圓的定義，找到三角形三邊的關系，進而通過正弦定理和余弦定理轉化成三角函數的化簡．