Question

給出下列命題：①函數(shù)y=cos(

2

3

x+

π

2

)是奇函數(shù)；②存在實數(shù)α，使得sin α+cos α=

3

2

；③若α、β是第一象限角且α＜β，則tan α＜tan β；④x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)的一條對稱軸方程；⑤函數(shù)y=sin(

2

3

x+

π

2

)的圖象關于點(

π

12

，0)成中心對稱圖形．其中正確的序號為（　　）

• A、①③
• B、②④
• C、①④
• D、④⑤

Answer 1

分析：①根據(jù)誘導公式化簡，即可得到y(tǒng)=cos(

2

3

x+

π

2

)是奇函數(shù)，從而正確；
②求出sinα+cosα的最大值，發(fā)現(xiàn)最大值

2

＜

3

2

，從而可得到不存在實數(shù)α，使得sinα+cosα=

3

2

；
③找兩個特殊角α、β，滿足α＜β，比如45°＜30°+360°，但是tan45°＞tan（30°+360°）不滿足要求，故不對；
④把x=

π

8

代入得到y(tǒng)=sin（2x+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，x=

π

8

是函數(shù)y=sin（2x+

5π

4

）的一條對稱軸；
⑤把x=

π

12

代入得到y(tǒng)=sin(

2

3

x+

π

2

)=sin

π

2

=1，故點(

π

12

，0)不是函數(shù)y=sin(

2

3

x+

π

2

)的對稱中心．

解答：解：①函數(shù)y=cos(

2

3

x+

π

2

)=-sin

2

3

x是奇函數(shù)；
②由sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）的最大值為

2

，
因為

2

＜

3

2

，所以不存在實數(shù)α，使得sinα+cosα=

3

2

；
③α，β是第一象限角且α＜β．例如：45°＜30°+360°，
但tan45°＞tan（30°+360°），即tanα＜tanβ不成立；
④把x=

π

8

代入y=sin（2x+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，
所以x=

π

8

是函數(shù)y=sin（2x+

5π

4

）的一條對稱軸；
⑤把x=

π

12

代入函數(shù)y=sin(

2

3

x+

π

2

)=sin

π

2

=1，
所以點(

π

12

，0)不是函數(shù)y=sin(

2

3

x+

π

2

)的對稱中心．
綜上所述，只有①④正確．
故選C．

點評：本題主要考查誘導公式的應用、正弦函數(shù)的基本性質(zhì)--最值、對稱性．三角函數(shù)的內(nèi)容比較瑣碎，要記憶的比較多，平時要注意公式的記憶和基礎知識的積累．