Question

(理)如圖,與拋物線x²=-4y相切于點A(-4,-4)的直線l分別交x軸、y軸于點F、E,過點E作y軸的垂線l₀.

(1)若以l₀為一條準線,中心在坐標原點的橢圓恰與直線l也相切,切點為T,求橢圓的方程及點T的坐標;

(2)若直線l與雙曲線6x²-λy²=8的兩個交點為M、N,且點A為線段MN的中點,又過點E的直線與該雙曲線的兩支分別交于P、Q兩點,記在x軸正方向上的投影為p,且()p²=m,m∈［,］,求(1)中切點T到直線PQ的距離的最小值.

(文)如圖,與拋物線x²=-4y相切于點A(-4,-4)的直線l分別交x軸、y軸于點F、E,過點E作y軸的垂線l₀.

(1)若以l₀為一條準線,中心在坐標原點的橢圓恰好過點F,求橢圓的方程;

(2)若直線l與雙曲線6x²-λy²=8的兩個交點為M、N,且點A為線段MN的中點,又過點E的直線與該雙曲線的兩支分別交于P、Q兩點,記在x軸正方向上的投影為p,且()p²=m,m∈［,］,求直線PQ的斜率的取值范圍.

Answer 1

答案：(理)解：拋物線x²=-4y中,∵導數y′=-x,∴直線l的斜率為y′|_x=-4=2.

故直線l的方程為y=2x+4.∴點F、E的坐標分別為F(-2,0)、E(0,4).

(1)∵直線l₀的方程是y=4,∴以l₀為一條準線,中心在坐標原點的橢圓方程可設為=1(a＞b＞0).則=4.由(4b²+a²)x²+16b²x+16b²-a²b²=0.

∵直線l與橢圓相切,∴Δ=16²b⁴-4(4b²+a²)(16b²-a²b²)=0.而=4,a²=b²+c²,解得a²=4,b²=3.

∴所求橢圓方程為=1.

此時,x=,即切點T的坐標為T(-,1).

(2)設l與雙曲線6x²-λy²=8的兩個交點為M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),顯然x₁≠x₂.∵點A為線段MN的中點,∴x₁+x₂=-8,y₁+y₂=-8.

由.

而k_l===2λ=3.∴雙曲線的方程為6x²-3y²=8,即=1.

∵在x軸正方向上的投影為p,

∴p²=cos²∠EFO=.

設直線PQ的方程為y=kx+4(斜率k必存在),點P(x₃,y₃),Q(x₄,y₄).

∴=x₃x₄+y₃y₄==5m.而m∈［,］,∴≤=x₃x₄+y₃y₄≤.

由(6-3k²)x²-24kx-56=0.∵P、Q兩點分別在雙曲線的兩支上,∴6-3k²≠0.

∴∴.

此時y₃y₄=(kx₃+4)(kx₄+4)=k²x₃x₄+4k(x₃+x₄)+16.∴x₃x₄+y₃y₄=(1+k²)x₃x₄+4k(x₃+x₄)+16

=(1+k²)+==.

∴.∴.,

∴k²∈［0,］,即k∈［,］.

而切點T到直線PQ的距離為

.

設t=,k∈［］,則t′=.

令t′＞0k＜-或k＞2.∴t=在［］上單調遞增,在［-,］上單調遞減.

又k=時,d=2+;k=時,d=2-.∴d_min=2,即切點T到直線PQ的距離的最小值為2.

(文)解：拋物線x²=-4y中,∵導數y′=-x,∴直線l的斜率為y′|_x=-4=2.故直線l的方程為y=2x+4.

∴點F、E的坐標分別為F(-2,0)、E(0,4),

(此處也可用Δ=0求切線斜率,再寫出方程)

(1)∵直線l₀的方程是y=4,∴以l₀為一條準線,經過點F,中心在坐標原點的橢圓方程可設為=1(a＞2).則c=,其準線方程為y==.由=4,得=4,化簡得a⁴=16(a²-4),解得a²=8.∴橢圓方程為=1.

(2)設l與雙曲線6x²-λy²=8的兩個交點為M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),顯然x₁≠x₂.∵點A為線段MN的中點,∴x₁+x₂=-8,y₁+y₂=-8.由.

∵k_l===2λ=3.∴雙曲線的方程為6x²-3y²=8,即=1.

∵在x軸正方向上的投影為p,∴p²=cos²∠EFO=

=.設直線PQ的方程為y=kx+4(斜率k必存在),點P(x₃,y₃),Q(x₄,y₄).

∴=x₃x₄+y₃y₄==5m.而m∈［,］,∴≤=x₃x₄+y₃y₄≤.

由(6-3k²)x²-24kx-56=0.∵P、Q兩點分別在雙曲線的兩支上,∴6-3k²≠0.

∴∴.

此時y₃y₄=(kx₃+4)(kx₄+4)=k²x₃x₄+4k(x₃+x₄)+16.∴x₃x₄+y₃y₄=(1+k²)x₃x₄+4k(x₃+x₄)+16

=(1+k²)++16==.

∴≤≤.∴.

又,∴k²∈［0,］.∴k∈［］.故所求直線PQ的斜率的取值范圍是［］.