Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+2（10-3n）x+9n²-61n+100，其中n∈N^*．
（Ⅰ）設函數(shù)y=f（x）的圖象的頂點的橫坐標構成數(shù)列{a_n}，求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設函數(shù)y=f（x）的圖象的頂點到y(tǒng)軸的距離構成數(shù)列{d_n}，求數(shù)列{d_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）由二次函數(shù)y=f（x）的對稱軸為x=3n-10得a_n=3n-10
∵對n∈N且n≥2，有a_n-a_n-1=3
∴{a_n}為等差數(shù)列．
（Ⅱ）由題意，d_n=|a_n|，即
∴當1≤n≤3時，
當n≥4時，S_n=7+4+1-（-2-5+…+10-3n）=
∴
分析：（Ⅰ）因為二次函數(shù)表達式為f（x）=x²+2（10-3n）x+9n²-61n+100，其中n∈N^*．可求頂點橫坐標，也就得到
數(shù)列{a_n}的通項公式．再利用等差數(shù)列的定義證明．
（Ⅱ）因為二次函數(shù)表達式為f（x）=x²+2（10-3n）x+9n²-61n+100，其中n∈N^*．可求頂點縱坐標，也就得到
數(shù)列{d_n}的通項公式，再用等差數(shù)列前n項和公式，分組求和即可．
點評：本題考查了等差數(shù)列的定義和等差數(shù)列前n項和公式，做題時要耐心細致，認真分析．